数式の記述 (expr, c, sum, dot)

数式は、決定変数と数値係数の線形または2次結合です。

JavaScript / TypeScript には演算子オーバーロード（+, * 等）がないため、WaSHI は expr / c タグ付きテンプレートリテラル、高速な総和関数 sum()、およびベクトル・行列の内積関数 dot() を提供し、代数的なモデリングを簡潔かつ表現力豊かに記述できます。

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✍️ タグ付きテンプレートリテラル (expr と c)

算術式（LinExpr | QuadExpr）には expr を、関係演算子による制約条件（Constraint）には c を使用します：

import { Model, expr, c } from "@ohtaman/washi";

const m = new Model();
const x = m.continuous("x", { lb: 0 });
const y = m.continuous("y", { lb: 0 });

// 1. 線形結合: 3*x + 5*y - 10
const linearExpr = expr`3 * ${x} + 5 * ${y} - 10`;

// 2. 2次式: x * y + 2 * x^2
const quadExpr = expr`${x} * ${y} + 2 * ${x} * ${x}`;

// 3. 関係制約条件 (c タグを使用):
const balanceConstraint = c`${x} + 2 * ${y} <= 40`;

expr でサポートされる構文

• 加算と減算: ${x} + ${y} - 5
• スカラー乗算: 4 * ${x}, ${x} * 4
• 変数同士の乗算（2次項）: ${x} * ${y}, 2 * ${x} * ${x}
• べき乗・二乗: ${x}^2, ${x}**2
• 単項マイナス: -${x} + 10
• 丸括弧: 2 * (${x} + ${y})
• ネスト式: 変数、数値、sum() の結果、およびネストした式を自然に埋め込めます。

NOTE

関係演算子（<=, >=, ==）を含む比較制約には c テンプレート（例: c`${x} + 2 * ${y} <= 40` ）を使用してください。expr 内で比較演算子を使用すると、c の利用を促すエラーが送出されます。 expr は線形式および2次式（次数2以下）を統一的に扱えます。2次項が含まれる場合は QuadExpr を返し、すべて線形項の場合は LinExpr を返します。次数3以上の非線形多項式（例: ${x} * ${y} * ${z}, ${x}^3）や非線形制約（例: ${x} * ${y} <= 10）は、MILP/LP/QP の定式化要件（線形制約かつ次数2以下の目的関数）に基づきエラーとなります。

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⚡ 高速な総和関数 (sum)

変数の配列や反復集合に対して効率的に総和を計算します：

import { sum } from "@ohtaman/washi";

const items = ["A", "B", "C"];
const weights = { A: 10, B: 20, C: 30 };
const x = m.binary(items);

// 1. マッピングコールバック関数による変換集計:
const totalWeight = sum(items, (item) => x[item].mul(weights[item]));

// 2. 配列の直接総和:
const count = sum(Object.values(x));

sum() は AST パースのオーバーヘッドなしに $O(N)$ 線形時間で高速に動作します。

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🎯 内積関数 (dot)

dot(coefficients, variables) は、係数と変数の内積（線形結合）をワンライナーで計算します。

1次元ベクトルの内積

import { dot } from "@ohtaman/washi";

const profits = { desk: 30, chair: 50 };
const vars = m.integer(["desk", "chair"]);

// 30 * vars.desk + 50 * vars.chair を計算
const totalProfit = dot(profits, vars);

2次元行列の内積

ネストされた辞書や2次元配列とも直接連携します：

const factories = ["Tokyo", "Osaka"];
const stores = ["StoreA", "StoreB"];

const costs = {
  Tokyo: { StoreA: 4, StoreB: 7 },
  Osaka: { StoreA: 8, StoreB: 3 },
};

const ship = m.continuous(factories, stores);

// 総輸送コストを1行で記述:
m.objective(minimize(dot(costs, ship)));

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🧮 2次式 (QuadExpr & expr)

WaSHI は HiGHS ソルバーによる凸2次計画問題（QP）を標準でサポートしています。2次目的関数は、expr テンプレートリテラルを用いて直感的に記述することも、QuadExpr や .mul() メソッドを使って代数的に構築することも可能です：

1. expr による統一的な記述（推奨）

* や ^2, **2 を用いて、直感的に2次目的関数を記述できます：

import { Model, expr, c, minimize } from "@ohtaman/washi";

const m = new Model();
const x = m.continuous("x", { lb: 0 });
const y = m.continuous("y", { lb: 0 });

// expr による2次目的関数:
m.objective(minimize(expr`3 * ${x} + ${x}^2 + ${y}^2`));

// 線形制約 (c タグを使用):
m.constraint(c`${x} + ${y} >= 4`);

2. .mul() や QuadExpr による構築

プログラム的に2次式を組み立てることも可能です：

import { Model, QuadExpr, minimize } from "@ohtaman/washi";

const m = new Model();
const x = m.continuous("x", { lb: 0 });
const y = m.continuous("y", { lb: 0 });

// 1. .mul() による2次項の構築:
// x * y + 2 * x^2 を表現
const quad = x.mul(y).add(x.mul(x).mul(2));

// 2. 2次目的関数（ポートフォリオのリスク項 w^T * Sigma * w など）の構築:
const assets = ["Tech", "Bonds"];
const w = m.continuous(assets, { lb: 0, ub: 1 });

let risk = new QuadExpr();
risk = risk.add(w.Tech.mul(w.Tech).mul(0.04));
risk = risk.add(w.Tech.mul(w.Bonds).mul(0.005));
risk = risk.add(w.Bonds.mul(w.Bonds).mul(0.01));

m.objective(minimize(risk));